「OI之路」03数学-12极限与微积分

极限与微积分

基础内容:强烈推荐一个非常有名的up主3B1B的视频:微积分的本质 是我这种自学者的福音

__debug的数论ppt挺不错的,末尾有很多微积分简单练习题,大家可以去学习

下面主要是些收集性的记录

其他

  1. 微积分实用性的精华所在:本来会有一个很复杂的式子,在dt趋于0后反而简洁了

  2. 对于某个函数,如果能求出其导函数,那么可以通过 $f’(x)=0$ 找到极值点(可导必连续)

  3. 凸函数:二阶导数非负

  4. 如果一个函数的积分存在,并且有限,则称为「可积」
    若定积分存在,则它是一个具体的数值,而不定积分是一个函数表达式
    定积分: $\int_{l}^{r}f(x)dx$ 牛顿-莱布尼茨公式: $\int_a^b f’(t)=f(b)-f(a)$

  5. 三大微分中值定理,前一个是后一个的特例
    罗尔中值定理:$f(x)在(a,b)上可导且f(a)=f(b)则存在f’(pp)=0$
    拉格朗日中值定理:$f(x)在(a,b)上可导则存在f’(pp)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
    柯西中值定理:
    $若 f(x)、g(x)在(a,b)上可导, \forall x \in (a,b),g’(x) \neq 0$
    则存在pp, $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(pp)}{g’(pp)}$

  6. $1^2+2^2+3^2+……+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

  7. 常用等价无穷小(当$x\to 0$时)
    $$
    (arc)sin(x)=(arc)tan(x)=x,a^x-1=x*ln(a) \\
    ln(1+x)=x,(1+Bx)^a-1=aBx,(1+x)^{1/n}-1=x/n \\
    log_a(1+x)=x/ln(a),(1+x)^a-1=ax(a≠0)
    $$

  8. 拉格朗日乘数法,待学留坑,题:骑行川藏

  9. 辛普森积分,待学留坑,题:月下柠檬树

导数

  1. 复合函数求导:链式法则 $h(a)=f(g(x)),h’(a)=f’(g(x))g’(x)$

  2. 高阶导数的表示法:$$\frac{d \frac{df}{dx}}{dx}=\frac{d^2 f}{d x^2}$$ 以此类推;

    关于超实数域,权值为a的m阶无穷小记为 $a(0)^m$ ,这样有助于理解高阶微分

    洛必达法则:用于求0/0或$\infty/\infty$未定式$f(x)/g(x)$的极限,$f(x)和g(x)$随x趋于a都趋于0,$f’/g’$存在极限且a某个去心邻域$g’$不为0,则两者相等

    根据上面条件发现,完全可以把一阶导数继续套用求导,所以如果无穷不同阶,那么就不收敛;有个详细的推导:马同学 还有一个非常很不错的简单诠释 ,然后最近刚好碰到一道题:百度之星初赛2019R1T1

  3. 关于隐函数求导,可以把常数项c看做变量x,然后在dx意义下考虑问题

  4. 小结论:$[\prod_i T_i(x)]’=\sum T_i’(x) \prod _{j \ne i} T_i(x)$,可归纳证或手玩发现(所以完全不用背)

  5. 比较好看的版本

积分

换元积分法

小练习:
$$
求\int (1-nx)^{n-1} dx \\
写成\int f(g(x))g’(x)dx的形式,即\int \frac{(1-nx)^{n-1}}{-n}*(-n)\ dx \\
换元,u=1-nx,\int \frac{u^{n-1}}{-n}\ du=\frac{u^n}{-n^2}=\frac{(1-nx)^n}{-n^2}
$$

关于e

首先我们考虑幂函数$f(x)=a^x$ 然后发现导数总是自身的倍数,考虑这个是否存在一个a使得导数恰好为自己

这个是我比较喜欢的e的定义, 但有时人们也用这个$e=lim_{n->\infty} (1+\frac{1}{n})^n$,相关推导

所以说$e^x$可以称之为最特殊的幂函数,其他幂函数的导数可以考虑转化为这个再求导,而且lnx发散而$e^x$收敛

泰勒展开:用一个点x0的各阶函数,获得附近函数的信息,不错的教程

用多项式近似某条区间(x次多项式可求导x次),保证前n个导数相同,两个函数的差距将是高阶无穷小,然后上面a表示以x=a为切入口来近似,解方程可知 $f(x)=\sum_{i=0}^n \frac{f^i(a)}{i!}(x-a)^i+\xi$,这里上标是求导次数

然后麦克劳林级数是泰勒展开在a=0时的特殊情况

离散微积分

YYYGosper算法

贴个链接就跑路系列,大概是差分相关

dzy-数列极限的学习笔记

数列极限的定义(极限的$\epsilon—N$定义):

$\begin{matrix}\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Leftrightarrow\forall \epsilon > 0,\exists N \in N^{+}使得n>N,|x_{n}-a|<\epsilon\end{matrix}$

几何思想是数轴区间内无限、有限个点

由此可知收敛数列极限唯一,有上下界,还可以用两个夹逼另一个

收敛数列的四则运算后的极限=极限的四则运算

单调有界定理:单调且有上下界的数列必定收敛,所以调和数列(不是级数 )是收敛的

O’Stolz定理 $若{y_n}严格单调递增到\infty(或{y_n}严格单调递减且趋于0,\lim_{n\to \infty}x_n=0),\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_n}{y_n}$

Cauchy收敛准则:${x_n}收敛\Leftrightarrow\forall \epsilon>0,\exists N,s.t. n,m>N,|x_n-x_m|<\epsilon$

dzy-函数极限的学习笔记

一个函数连续指在其定义域内任一点都连续,$f(x)在x_0连续 \Leftrightarrow \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\Rightarrow \forall \epsilon>0,\exists \delta >0,\forall x\in O(x_0,\delta),|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

学不动啊跑路了

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