傻逼错误
- cmp函数不能在结构体内部
- 对于一道题意不裸的题，都应该手玩样例检验没有看错题、想出来算法的基本正确性，再去code
- 标准差是方差的算术平方根，所以说所谓方差是不需要开根的
- 不等式的移项 一定要分析正负性
- stl的比较重载不能随便搞，一定要满足传递性和大小情况单一性（stl用<和>推导出=）
- fft得答案时要round
- 带取模计数，判无解不能用答案=0，因为答案可能是模数的倍数
- 注意！
multiset的count复杂度和对应元素数量相关注意！
set等非随机访问结构的lower_bound，必须调用结构内部的，用stl的那个函数会线性 - 注意 s&bin[i] 和 (s&bin[i])>0
- 用指针a[]表示数组的时候，sizeof a只会得到单位大小，而不是整个数组的大小
- 取模题最后转正很容易忘记，养成中途转正的习惯
- map等stl在结构体内的时候memset会gg
- 在无c++11的时候，queue系列的swap是o(n)的
- 如果一个东西的插入复杂度是通过势能分析保证的
那么通常不能支持删除操作，因为可以多次进行高复杂度的操作 - 在CF上，任何自选模数的题都应该rand或者双模数，例如路径关键点、hash
奇妙结论
- 一个1到n的集合，选若干个不互质的数，要求和最大
结论：每个数最多两个不同的质因子，且一个在根号内，一个在根号n外
bzoj3308 - 让拓扑序的逆字典序最小，应建反向边跑大根堆；只会感性理解正确性
搜索
- 搜索去掉次序性的套路：强行限制大小关系
举例：poj1011 Sticks - 常见优化：优化搜索顺序、排除等效的决策和物体、可行性、最优性、记忆化
- 对于一个序列，拆分成多个序列的问题，有两种不同的方向：给每个元素分配组、通过组找元素
最好能仔细根据题目斟酌一下策略，本人多次用2各种剪枝，也比不过裸的1……
举例：Sticks、Missile Defence System、Zebras - 50的整数拆分约为1e6，挺有用的；举例：[JLOI2012]时间流逝，有题解
数论
- 数论分块
当出现连续的$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$时，值一定是单调不递增的，同值的区间可以合起来计算
复杂度：$O(\sqrt n)$
① 当$i \leq \sqrt n$,分母只有$\sqrt n$种
② 当$i > \sqrt n$,$\lfloor \frac{n}{i} \rfloor < \sqrt n$
$last=\lfloor \frac{n}{ \lfloor \frac{n}{i} \rfloor } \rfloor$
举例：CQOI2007 余数求和、非常多数论题 - 由调和级数，1+1/2+1/3…1/n=logn
- 对于一个素数P，任何P以内的x，其倍数在模P意义下可以表示出所有P以内的数
- x不断对【<x】的数取模，只会进行 $O(logn)$ 次，讨论一下就知道了
- 【任意模数下存在逆元的数，其逆元互不相同】的证明： $ax=1(\%p)$，那么把其一作为未知数，根据裴蜀定理另一个与p互质
树
- 点分树上，点对的LCA一定也在原树两点路径上
- 在一棵边权非负的树上，与该点最远的一定是直径的某个端点
两棵树合并起来，新的直径端点一定在两边直径端点中产生
直径的中心唯一
每个点的最远点，都一定经过直径的中心 - 一棵树上点集的连通块个数=点-边
- 很多模型能转化为树形
例如互不重叠只包含的区间（最近一个包含作为fa）、某个变量只有单一指向（作为fa）
举例：跳跳棋 - 图的dfs树不会有横叉边
- 虚树上如何找到原树某个点的第一个祖先（强制在线）：
$dfn_A \leq dfn_B \leq dfn_A+siz-1$
我们先找到$dfn_A \leq dfn_B$的区间，然后就是这段区间能覆盖B的最右边的点
这个可以在线段树上二分实现 - 用可重路径覆盖一棵树，最小数量：$\lceil \frac{度=1的点数量}{2} \rceil$
字符串
- 串的计数，枚举长度，建立间隔为长度的关键点（调和级数），然后每个串会经过一个关键点，枚举关键点算贡献
举例：【NOI2016】优秀的拆分、股市的预测 - 如果一个串是双回文串，一定存在一种分割，满足前面是最长回文前缀或者后面是最长回文后缀
- 一个串重复多次的最长回文子串，如果不是无限长，则最多是两个合并起来
决策算法
- 找前k优的区间，固定一个点后，左边的优秀情况是极值问题
可以用堆维护左边，取出一个位置后把左边区间拆成两半放回去
举例：超级钢琴、树上的路径
当然非区间一般也是用堆维护
做法：堆维护，堆顶为最差元素
举例：K远点对、Supermarket - max n个数的环上相邻差
最小化这个，可以递增奇数+递减偶数 - 对于一些求大小为k最优集合的题目，不妨尝试猜测k一定为k-1的增量，感觉一般都不太好证明，不过可以画一画有没有反例:D
解题思路
- 有些题可以从简单情况着手、然后拓展到复杂情况（数学归纳法或者总结经验、模仿）
或者先考虑普通情况，再考虑改进来解决特殊情况
举例：noi2015 荷马史诗、poj2442 Sequence - 对于比较陌生的题目操作形式，可以多造几组数据来模拟，找到一些性质，用这些性质转化题目
- 目前碰到处理棘手的删除问题的方法主要有两个，基本都需要离线
一个是倒着做，这个对题目的要求较高；
另一个是贪心，离线后按出现时间处理，然后按结束时间贪心
举例：【bzoj4644】经典傻逼题【集训队互测2015】最大异或和、【bzoj5040】航线规划【bzoj4229】选择 - 平方形式，可以转为为数点对，或者是进行两次然后相同的情况
又或者可以处理其差分1,3,5,7,9,11……
举例：NOI2009 管道取珠. 蔬菜. 学习小组 - 有关区间问题并用到区间最值，求出l[i]和r[i]表示第一个比a[i]大的位置，则l[i]+1~r[i]-1中间，用到的最大值都是a[i]
不过要小心最大值相等而重复的情况，可以强行把左边界改严格来限制
举例：洛谷18年7月月赛T4 - 需求：最大化最小值、最小化最大值
做法：二分答案
举例：一抓一大把 - 很多计数问题要求排列，可以时刻保证排列性，然后插入一个数，将比它大的数+1
举例：51nod1296 有限制的排列、以及一些比较经典的树上dp - 跟极值有关的区间问题，考虑一下已知某个极值贴着区间所带来的影响
举例：hnoi2016序列、hnoi2017影魔、ioi2018会议、noi2019机器人的50分部分分（都有题解） - 问从状态A操作到B，考虑倒着操作
其他
- 设cnt(x)为x二进制下1的数量，$cnt(a \oplus b)$ 为奇，当且仅当一个cnt为奇，另一个是偶
因为两个1在一起是偶，不在一起也是偶 - 有时候矩乘的矩阵有特殊性，可以舍弃许多可推导信息来减少规模
举例：弱题 - 权值总和为S的背包，可以 $O(S \sqrt S)$ 完成，即考虑大块小块有根号级别的不同权值，每种权值单调队列优化多组背包即可
- 取模题对拍时可以改小模数检验